Nachdem wir im letzten Video die grundlegenden Begriffe des Eigenwerts und Eigenvektors eines

Endomorphismus bzw. einer darstellenden Matrix eingeführt haben und auch die mathematischen

Zusammenhänge ein wenig beleuchtet haben, stellt sich immer noch die Frage, wie können wir einen

Eigenwert einer Matrix, wie können wir den Eigenwert eines Endomorphismus konkret berechnen

und bestimmen. Denn das wird es sein, was uns interessiert. Die Eigenwerte und Eigenvektoren

werden uns wichtige Eigenschaften, lineare Operatoren anzeigen. Das heißt, wir brauchen

jetzt auch eine Berechnungsvorschrift, um diese zu erhalten und dann analysieren zu können.

Deswegen wird in diesem Video ein zentraler Begriff eingeführt, der des charakteristischen

Polynoms. Und wir werden sehen, dass dieser Begriff des charakteristischen Polynoms uns

hilft, Eigenwerte einfach zu berechnen. Wir beginnen direkt mit der Definition. Wir wollen

uns gar nicht lange aufhalten. Die Definition des charakteristischen Polynoms ist angelehnt

an das, was wir schon gesehen haben, für Eigenräume. Wir nehmen in diesem Fall einfach

mal eine Matrix an. Wir könnten das Ganze auch für Endomorphismen machen, doch wir

schreiben das jetzt mal für die Matrix A hin, als darstellende Matrix. Also sei A, K hoch

N, Kreuz N, quadratische Matrix. Und wir haben in dem Fall führen wir noch die Bezeichnung

ein, IN als die entsprechende Einheitsmatrix. Manche Leute schreiben auch EN, ich bevorzuge

EN die entsprechende Einheitsmatrix. Dann bezeichnen wir folgende Abbildung. Dort werden

wir wieder die Definition sehen, die wir schon aus dem Eigenraum kanten. Nur mit einem kleinen

Trick. Das heißt, wir haben jetzt eine Abbildung, die wir im Folgenden immer P für das charakteristische

Polynom nennen, bezüglich einer Matrix. Dann wäre hier der Index A. Wir könnten auch eines

Endomorphismus F nehmen, dann wäre es PF. Und wichtig ist jetzt, dass das eine Abbildung

ist von den Körpern in den Körper, wie es so ist bei Polynomen. Und was bilden wir ab?

Wir bilden ab eine allgemeine Variable T. Könnte man auch anders nennen, wir nehmen

folgende T. Und das ist nichts anderes wie die Abbildung von T auf die Determinante des

folgenden Linienoperators, nämlich A minus T mal die Einheitsmatrix. Das bezeichnen

wir als das charakteristische Polynom von A. Das gleiche können wir auch für Endomorphismen

F machen. Dann wäre es dementsprechend F minus T mal die Identitätsabbildung in dem

Vektorraum. Aber wir bleiben jetzt hier an der Stelle bei den Matrizen. Also wir haben

A minus T mal Einheitsmatrix. Das haben wir schon gesehen. Das kommt aus der Eigenwertgleichung,

diese Formulierung, dieser Linienoperator. Was jetzt hier neu ist und interessant ist,

die Determinante. Das heißt, wir interessieren uns für die Determinante dieses Operators,

die durch eine Matrix dargestellt wird. Und die wird uns etwas darüber aussagen, ob wir

einen Eigenwert gefunden haben oder nicht. Warum ist das so? Naja, die Intuition dahinter

ist, wir möchten die Eigenwertgleichung lösen. Das heißt, idealerweise hätten wir dann so

was wie AV minus LambdaV ist gleich Null. Und das Ganze für den Linienoperator hochgezogen

wäre dann im Endeffekt, dass die Determinante des Operators Null sein soll. Also man stellt

sich das Ganze einfach vor als eine Eigenschaft dieses Operators. Und wenn der Null ist, dann

weiß ich, okay, dann werde ich einen Eigenwert gefunden haben. Wir werden das Ganze gleich

noch ein bisschen näher beleuchten. Denn der folgende Satz erklärt uns, was uns dieses

charakteristische Polynom überhaupt bringt. Und zwar nehmen wir wieder eine quadratische

Matrix A, K in Kreuz N. Dann gilt nämlich folgende Äquivalenz. Wie ich gerade schon

angedeutet habe, können wir nämlich jetzt mit diesem Satz zeigen, dass Lambda aus K

genau dann Eigenwert ist von Matrix A, wenn Folgendes gilt, nämlich, wenn, ich schreibe

es in die nächste Zeile, also folgende Aussagen sind äquivalent. Lambda ist Eigenwert von

A genau dann, wenn das charakteristische Polynom P A von Lambda, also anstatt der freien Variablen

T setzen wir jetzt das konkrete Lambda ein, von dem wir denken, dass es der Eigenwert

ist. Das ist dann nach der Definition oben nichts anderes wie die Determinante von A

minus Lambda Einheitsmatrix. Die muss gleich Null sein. Das heißt, wir suchen jetzt konkret

Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Und dieser Satz sagt uns, jedes Mal, wenn

wir eine Nullstelle gefunden haben, dann haben wir schon einen Eigenwert der darstellenden